对算法多样化与优化的思考

    《数学课程标准(实验稿)》指出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。算法多样化是新课倡导的理念．但在落实这一新课程理念的过程中。许多教师在对算法多样化与优化的认识和操作上存在这样或那样的困惑，下面谈谈我们对算法多样化与算法优化的思考。

    一、算法多样化的意义

    建构主义学习理论告诉我们，学生学习数学的过程不是被动接受的过程，而是在自身经验基础上积极主动的建构过程。因为每个学生的生活经验和思维方式不同，对相同的数学内容往往表现出个性化的认识和理解，所使用的计算方法也必然是多样的，算法多样化符合学生的知识建构特点。算法多样化这一过程能使每个学生的智慧得以展示，能使每个学生的潜能得以发掘。能体现学生计算方法的个性化及多样化。它有利于不同层次的学生体验成功，树立学习自信心．使学生感受到数学的独特魅力；有利于激发学生的创新思维，培养他们独立思考能力以及合作意识。

    二、算法多样化的方法

    在计算教学中，教师要创设和谐愉悦的氛围，充分调动学生的积极性．为他们提供足够的思考时间．尊重信任学生．让学生独立思考、自主探索，从不同的角度思考问题，得出解决问题的多种方法。对于难度较大的问题可以采取小组合作探究的方式。

    三、算法优化的必要性 

在多样的算法中。各种算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响，因此，学生的思维存在着差异性与层次性。有的算法有受个体和题目的限制．具有通用性和简捷性。有的算法对某人或某一题比较适合。但对另一人或另一题可能就不方便了；有的虽然可行，但操作烦琐；有的思维混乱无序，效率比较低。   

正如叶澜教授所说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生发展。”《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”课标提倡算法多样化．也强调要重视口算．而且在口算的速度上有一定的要求。要提高口算速度，算法必须优化．学生只有掌握了高效的计算方法，才会有一定的口算速度，为后面的笔算打好基础。为后续学习练好基本功，才能实现学生在数学学习中的可持续发展。所以，算法多样化后应该提倡优化，而且必须优化。

    四、算法优化的含义

    算法的优化是指学生结合自己的生活经验，已有知识水平，在多样的算法中找到一个自己认为最好的、最为合适的、最能理解问题的算法的过程。这里和我们以前所认为的优化有着明显的区别，以前只从教师的角度去考虑优化，而现在更强调从学生的层面去考虑优化，且优化的过程由学生来完成。让学生在不断的实践中逐步地优化、不断地完善。

    五、算法优化的标准

    优化的标准是什么?过去我们仅仅用成人认为唯一合理的方法(即原人教版教材中的算法可称为经典算法)作为一般性算法，教给学生，那么现有的一般性算法是什么呢?对一般性算法的理解要突破唯一性，换句话说．一般性算法是指在同一思维层次上的方法群。以此为基础，判定一般性算法有三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教，学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的、促进学生思维发展的方法。一般性算法具有通用性和简捷性．一般不受个体和题目的限制，是通法通则。理想的一般性算法是三维一体的，但多数算法是有所侧重的，随年级升高对学科维度要求会逐渐增强。因此，在展示算法多样化时，教师应首先确定哪些是一般性算法，哪些是特殊算法，做到心中有数，为进行算法优化作好准备。

    六、算法优化的方法

    1．展示学生的多种算法。

对于学生得出的多种算法，教师都要(也可以让学生)有条理地板书在黑板上，同时一一给予肯定。为引导学生进行分类梳理，逐一分析算理进行优化建立平台。

例如，在“20以内的退位减法”“12—9”的教学中．学生得出了下面一些算法：

    (1)破十法：10—9=1，2+1=3。

    (2)连续减：12—2=10，l0一7=3。

    (3)想加算减：9+3=12，12—9=3。

    (4)其他，如数数，联想：11—9=2，2+1=3等。

    2．发挥学生主体作用。

    算法优化的过程是一个促进学生学会反思、自我完善的过程。所以，教师应该把选择判断的主动权放给学生，为学生提供足够的时间，充分交流的机会。教师引导学生进行讨论交流、分析比较，让学生在用自己的算法和用别人的算法计算时。认识到差距，产生修正自我的内需：也可以采用先让汇报学生讲算法，再让其他学生复述算理的方式，使学生了解他人算法，修正自己的算法，从而“悟出”属于自己的最佳方法。如上面“12—9”的多种算法呈现后，学生经历以上过程就可以选择出一般性算法，如第(1)～(3)种，即破十法、连续减、想加算减。教师要注意在引导评价算法时，不要讲“优点”，而要讲“特点”，把优点让给学生自己去感悟，为学生多留一点思考的空间，使得所有学生都能在原有基础上得到发展，才能达到优化算法的目的。 

    3．“久期不遇”的措施。

  如果新课临近结束时学生还没有感悟出一般性算法，甚至没有一个学生得出一般性算法，假如在后续知识学习时再引导学生感悟掌握一般性算法，为时已晚，这样会延误后续知识的学习，影响学生的思维发展。这时教师不要心急如火、急于求成，不能强制性地把自己认为最优的方法传授给学生，这样做他们会失去很多。因为每个学生对自己的方法的感受比对教师引导的方法印象要深，操之过急学生并不容易接受一般性算法，而且在一定程度上会对他们今后的独立思考起到抑制作用。这时教师要科学设计，采取适当的教学策略创设情境，通过一组计算练习巧妙引导，使学生感悟出一般性算法。

    例如，一位教师教学“两位数加一位数的进位加法”，在计算26+8时，学生出现了三种不同的思路：(1)6+8=14，20+14=34；(2)26+4=30，30+4=34；(3)22+8=30．30+4=34。在初学时学生受第一学期学习“20以内进位加法”时用的“凑十法”的影响较大，有相当一部分学生喜欢(2)、(3)种方法。教师没有对这两种思路的优劣作任何评价。不过．考虑到第(1)种思路(经典算法)对后续学习将起到更大的积极作用，有意识地引导学生学会这种方法。在教学例题时，学生出现不同的方法时，教师追问：“谁能说说这几位小朋友是怎么算的?”在“做一做”时也组织学生同桌说，全班一起说这三种口算思路，引导学生了解不同的口算方法。有比较才会知道哪种更适合自己．哪种更好。之后教师设计了三组口算练习．一组一组呈现：

    第一组：6+7=?  26+7=7．

    第二组：5+9=?  65+9=?

    第三组：7+8=?  37+8=?

    在算第一组时还有学生先用“凑十”的方法。出示第二组时，教师请一位算得比较快的学生说说他怎么算得这么快，并表扬了他．有意识地引导学生先把个位上的数相加。到第三组口算时几乎都先把个位上的数相加，再与十位上的数相加。这里教师没有强制学生用这种算法。但是，经过一定量的练习、实践后，学生自己会把这种方法的优势(简便快捷)感悟出来。算法的优化必要时还需要教师教学策略来引导。优化出的一般性算法必须通过一定量的练习让学生熟练掌握。如果当堂练习巩固的时间所剩不足．可用自习课或其他时间补上。

    4．教师发挥主导作用。

    算法优化后一般性算法只有一种，它就是经典算法；如果有多种，其中一定有经典算法。经典算法是教材编写专家经过千锤百炼挑选出来的，它是后续知识方法学习的基石。过去只学习教材中的经典算法，现在新课程提倡多样化，教师是否还要倾向于经典算法，有意识地指导学生优中选优呢?这要根据实际情况来确定：如果几种一般性算法对后续知识的作用是基本相同的，就没有必要倾向于经典算法；如果经典算法对后续知识的学习作用更大，价值更高，教师就要发挥自己的主导作用，采取一定的策略使学生进一步感悟出经典算法，促进学生发展，帮助学生成长获得必要的进步。

    七、实施算法多样化与优化应注意的几个问题

    1．算法多样化不同于“一题多解”。

    算法多样化并不是要求每一个学生都能用几种不同的方法解决问题。“一题多解”是学生个体能力的表现，是对每一个学生提出的学习要求，是一种很高的学习要求，在某种程度上说是很难达到的要求。算法多样化是群体学习能力的表现，是学生集体的一题多解，是学习个性化的表现。在此，个体在解决问题时没有必要掌握多种算法，让个体掌握多种算法的教学定位无疑加重了学生的学习负担，违背了算法多样化的精神实质。

    2．老师不能“索要”多样化的算法。

    算法越多并不是越能体现多样化。因为算法多样化追求的是尊重差异、尊重本色、尊重真实，学生自发想出的算是最真实、最本色的。因此教学应实事求是，应主要呈现学生自发想出的算法。然后进行分析比较．在此基础上再选择或者采取一定的教学策略感悟出一般性算法。不能为了体现多样化而多样化，让学生绞尽脑汁，想出与众不同的、费解的算法，甚至引导学生寻求“低层次算法”。更不要为了凑数量，而介绍后续知识方法来充当现存的算法，学生不明白道理，只能死记硬背，结果是拔苗助长，事与愿违。

    3．算法优化不要急于求成。

    对于算法优化，教师应鼓励、弓l导，但不要强求，应该把优化的过程作为一个引导学生主动寻找更好方法的过程，尊重学生的选择。如果有学生通过优化掌握了一般性算法，教师应及时给予肯定和鼓励。至于有的学生在优化过程中暂时没能找到，教师不要急于求成，只要学生参与到这个优化的过程中，其情感态度、数学思考就能得到培养，而这些对于学习比较困难的学生来说又是最重要的。教师可以采取一定的措施，力争在学习结束时帮助他们感悟出并学会一般性算法。

    4．不要无原则放任低层次思维的算法。 

    学生之间的差异是客观存在的，对一些低层次思维的算法，教师不能放任自流而美其名曰尊重学生。教师要善于引导学生对算法进行分析、比较，在质疑、辩论中促进低层次思维学生的发展，这无疑是教学的本质功能。

    5．恰当使用“你喜欢怎么算就怎么算”。

    “算法多样化”其实是解决问题的多样化，是思维水平的“当前状态”。教师不要急于让学生去选择“喜欢哪种算法”，而是要回头对各种方法进行评价与反思，通过对各种方法的辨析，来认识不同方法的特点与优势，以此来达到“去伪存真、去粗取精”的目的，实现“优化选择”。如果优化后的算法不只是一种，即一般性算法有多个，这时教师应该提倡和鼓励学生“用你喜欢的算法”计算。

    6．认真研究，精心预设。

为了处理好算法多样化，教师在备课时尽量预设到学生可能出现的每一种解题思路，研究和掌握每个知识点的一般性算法(包括经典算法)，以及它们与后续知识方法的联系：弄清楚每一种看似复杂或单纯的计算方法与所要最终优化的一般性算法有哪些潜在联系。这样才能促使学生对自己所选择的方法，从不同层面进行比较，做出积极的反思和必要的改进。另外，教师还要设计科学巧妙的教学策略来应对“久期不遇”的情况，以便“该出手时就出手”。

(责任编辑袁中学)

2007年第11期小学数学教育